CONSTRUINDO GRÁFICOS DE EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS

Introduzindo Equações Paramétricas

Equações Paramétricas são utilizadas para construir gráficos de equações com tempo superior e para representar curvas que não podem ser expressadas como y = f (x) . A idéia principal da construção de gráficos paramétricos é expressar ambos x e y como funções de uma terceira variável t . A variável t é denominada parâmetro e as equações definindo x e y são equações paramétricas. A variável t pode ou não representar tempo.

A equação claramente não é uma função de x mas preferivelmente é uma função de y . Para construir o gráfico dessa equação, ela pode ser expressada paramétricamente como segue:

> plot([t^3-2*t^2-3*t+5,t,t=-3..10],-10..10,-4..4);

No gráfico em S acima, o parâmetro t varia de -3 a 10 e sempre se refere como o intervalo t .

Experimente mudar os valores mínimos e máximos de t na linha de comando acima e descreva o que você encontrou.

R: Variando os valores de t , a curva pode ser modificada para aparecer como começa e parar pela demonstração da única parte em s .

Construa o gráfico da seguinte equação paramétrica com t variando de -5 a 7, e descreva a forma descrita pela curva.

> plot([.1*t^3-.2*t^2-2*t+4,1-t,t=-5..7],-5..10,-6..6);

R: Forma z .

Para quais valores mínimo e máximo aproximados de t a curva pode ser definida por e acima no começo e no fim do eixo y ?

R: mínimo: - 4.45
máximo: 4.45

Construa o gráfico da seguinte equação paramétrica usando as coordenadas [ - 2, 6] e [ - 19, 11] com um intervalo de t -2.2 para 3 e identifique a letra Grega que é obtida .

> plot([t^2-t-1,t^3-4*t-6,t=-2.2..3],-2..6,-19..11);

R: alfa

Usando as equações abaixo e o intervalo t , determine os ponto(s) onde a curva definida por e intercepta ela mesma. .

> plot([t^3-4*t,t^2,t=-4..4],-10..10,-1..8);

R: (0, 4)

Movimentos ao longo da curva podem ser modelados com equações paramétricas. Por exemplo, a posição da partícula no plano no tempo t , onde t varia de -3 a 3 pode ser descrita por equações paramétricas tal como vemos abaixo:

> plot([.5*t,t^2,t=-3..3],-2..3,-5..15);

A partícula é posicionada em (0, 0) quando e em (1, 4) quando . Podemos modificar o t direto na linha de comando do Maple.

Modifique o gráfico de e para ilustrar um tempo de começo de t = 0 segundos e tempo final de 4 segundos modificando a linha de comando vista anteriormente.

> plot([.5*t,t^2,t=0..4],-1..3,-5..18);

R: (2, 16)

Examine a curva definida pela equação paramétrica abaixo e determine o tempo no qual a curva alcança valor máximo.

> plot([3*t+1,9-t^2,t=-4..4],-10..15,y=0..9);

R: t = 0

Investigando Formas Alternativas de Equações Paramétricas

Considere os gráficos de duas diferentes equações parametricamente definidas.

a)

> plot([t,(t-3)^2+2,t=-3..10],-1..9,0..11);

b)

> plot([t+3,t^2+2,t=-3..10],-1..9,0..11);

O que você observa sobre os gráficos dessas duas equações parametricamente definidas ?

R: Os gráficos são idênticos.

Construa o gráfico dos dois pares das seguintes equações paramétricas usando as coordenadas [-0.5,4] e [-4,1] com t variando de - 4 a 3 e descreva o que você encontrou.

a)

> plot([t^2+t,t-1,t=-4..3],-1..4,-4..1);

R: O gráfico é uma parábola que abre para a direita com vértices em .

b)

> plot([t^2+3*t+2,t,t=-4..3],-1..4,-4..1);

R: O gráfico é uma parábola que abre para a direita com vértices em .

O gráfico é idêntico ao gráfico na parte (a).

Representações Paramétricas de uma curva não única. Lá estão infinitamente várias Representações Paramétricas de uma dada curva.

Considere o seguinte gráfico de equações paramétricas.

> plot([-t^2,t-1,t=-4..3],-5..1,-5..3);

Usando as mesmas coordenadas, crie uma diferente representação paramétrica para o gráfico acima inserindo suas equações em e .

> plot([-(t+1)^2,t,t=-4..3],-5..1,-5..3);

R: Uma das várias respostas é ;

Considere a seguinte forma S no gráfico definida parametricamente.

> plot([(t-1)^3,t-1,t=-3..3],-8..10,-3..2);

Crie uma diferente representação paramétrica para a forma S do gráfico acima inserindo suas equações nos e .

> plot([t^3+2,t,t=-3..3],-8..10,-3..2);

R: Uma das respostas certas é ;

Aprofundando seus conhecimentos

Construa o gráfico da curva no intervalo [-18,25] e [-15, 10] onde t varie de -2.5 a 2.5 e determine como a curva atravessa ela mesma várias vezes.

> plot([(t^2-1)*(t^2-4)*(t+6),(t^2-1)*(t^2-4)*(t^3+2)+2*t-1,t=-2.5..2.5],-18..25,-15..10);

R: 5 vezes.

Determine as equações paramétricas que descrevem a curva que atravessa ela mesma mais vezes que a curva definida por e e identifique o número de cortes.

> plot([(t^2-1)*(t^2-4)*(t+5)*t+3,(t^2-1)*(t^2-4)*(t^3+4)+t-1,t=-2.5..2.5],-18..25,-15..15);

R: Uma das várias respostas corretas é:

Número de cortes: 7

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